Un maitre interroge son élève:

J’ai quatre fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.

Vous avez 25 ans, quel est mon âge ?


Et la solution de énigme du mois dernier:

au départ on a:

.         111
.       x   |   y
.   22 |  z   | 23
. a  | b  |   c  |  d
3 | s  |  t   |  u  |  6

Il faut poser les équations pour chaque triangle composant la pyramide, en descendant les 3 derniers étages:

111 = x + y
x = 22 + z
Y = z + 23

donc:
111 = 22 + 23 + 2*z
2*z = 111 – 45 = 66
z = 33

.        111
.     55 | 56
.  22 | 33 | 23
. a |  b  | c  | d
3 | s  |  t  |  u  | 6

et on continue pour les étages du bas:
22 = a + b  (1)
33 = b + c  (2)
23 = c + d  (3)

a = 3 + s (4)
b = s + t (5)
c =  t + u (6)
d = u + 6 (7)

1 et 4 et 5 donnent: 3 + 2*s + t = 22
2 et 5 et 6 donnent: s + 2*t + u = 33
3 et 6 et 7 donnent: t + 2*u + 6 = 23

ces 3 lignes donnent:
2*s + t = 19      ->  t = 19 – 2*s
s + 2*t + u = 33    -> multiplié par 2 ->   2*s + 4*t + 2*u = 66
t + 2*u = 17      ->  2*u = 17 – t

les lignes 1 et 3 insérés dans la ligne 2
2*s + (4*19 – 8*s) + 17 – t = 66

puis la ligne 2 donne successivement:
2*s – 8*s + 76 + 17 – t = 66
-6*s + 93 – (19 – 2*s) = 66
-4*s + 93 -19 = 66
-4*s = 66 – 93 + 19
-4*s = 85 – 93
4*s = 8

s=2
t=15
u=1

et donc enfin:

.         111
.       55 | 56
.    22 | 33 | 23
.  5  | 17 | 16 | 7
3  | 2   | 15  | 1 | 6